Théorie du chaos et dynamique des populations: tout comprendre à Jurrassic Park

Voici le petit billet de blog lié à la vidéo du même nom: https://youtu.be/h9dumfLgSjc

Le battement d'aile du papillon :

Comme je vous l'explique dans la vidéo, un système chaotique est un système déterministe. C'est à dire que si l'on connait les valeurs exactes des paramètres et des conditions initiales du système, on obtiendra les valeurs exactes de nos variables dans le futur. Par contre, dès que l'on change un peu ces paramètres ou ces conditions initiales, le système va diverger et produire des valeurs très différentes pour nos variables. Et comme dans un système naturel on ne va généralement pas connaître ces valeurs parfaitement, si ce système est chaotique, on va avoir du mal à faire des projections fiables sur le moyen à long terme.

C'est ce à quoi fait référence l'allégorie du battement d'aile du papillon. Le système météorologique est un système chaotique. Comme on ne peut pas connaître exactement la température, l'humidité ou la pression à chaque endroit sur terre, et qu'on utilise des valeurs qui approchent ces valeurs exactes, on va pouvoir faire des projections à court terme (ce sont les prévisions météo que vous avez sur votre téléphone), mais pas trop au delà d'une semaine. Le battement d'aile d'un papillon peut en théorie changer la pression de façon infinétisimale localement, et cette différence peut complètement changer la météo plus tard à un autre endroit.

Quelques façons de représenter le chaos en dynamique des populations (ou dans une série en général) :

Une autre façon de voir si une série converge, entre dans un cycle, ou présente un comportement chaotique, c'est d'utiliser un diagramme de Cobweb. Dans ce type de diagramme, on trace P(t+1) en fonction de P(t) (pour rappel, on a P(t+1)=(1+r(1-P(t)/K)P(t), où r est le taux de croissance et K la capacité limite), et une droite de pente 1 (y=x). Là où la courbe et la droite se croisent, on a donc P(t+1)=P(t). Donc si notre série arrive à cette valeur, elle ne changera plus de valeur. C'est ce qu'on appelle un point d'équilibre.

Pour voir comment notre population évolue dans le temps pour chaque valeur P(t), on peut alors tracer un segment vertical jusqu'à P(t+1). On va ensuite tracer un segment horizontal jusqu'à notre droite, pour que P(t) prenne la valeur de P(t+1), et on va ensuite à nouveau tracer un segment vertical jusqu'à P(t+1) (qui est maintenant P(t+2)... Tu suis?). Et on recommence jusqu'à voir si on converge, si on a un cycle, ou un comportement chaotique.

Pour K=1000 et r=1, on obtient une convergence:

Pour K=1000 et r=2, on obtient un cycle de période 2:

Pour K=1000 et r=2.5, on obtient un cycle de période 4:

Pour K=1000 et r=2.7, on obtient un comportement chaotique:

Mais plutôt que de faire ça pour une valeur de r à la fois, on peut faire des simulations pour plein de valeurs de r successives (par exemple de 1 à 3 avec des pas de 0.01) pour 500 pas de temps, et compter le nombre de valeurs uniques pour les 50 derniers pas. Si on converge, on aura une seule valeur; si on a un cycle, on aura un nombre de valeurs égal à la période du cycle; si on a un comportement chaotique, on aura plein de valeurs différentes:

Comment détecter le chaos dans des données réelles :

Dans l'article de la vidéo (Rogers, T.L., Johnson, B.J. & Munch, S.B. Chaos is not rare in natural ecosystems. Nat Ecol Evol 6, 1105–1111 (2022). https://doi.org/10.1038/s41559-022-01787-y), les auteurs ont calculé l'exposant de Lyapunov pour détecter les dynamiques chaotiques. Le principe est le suivant. Considérons deux conditions initiales très similaires mais différentes pour une population avec les mêmes paramètres (r et K dans le modèle logistique, mais on peut avoir des modèles plus compliqués avec plus de paramètres). On va noter cette différence |ΔP(0)|. Au fur et à mesure que le temps passe, je devrais voir mes populations diverger de plus en plus, de façon exponentielle. On a donc l'équation: |ΔP(t)|=exp(λt)|ΔP(0)|, et λ est l'exposant de Lyapunov. Si λ est négatif, exp(λt) va être plus petit que 1, donc |ΔP(t)| va converger vers 0, ce qui veut dire que la dynamique n'est pas chaotique. Si λ est positif, |ΔP(t)| va augmenter de façon exponentielle, c'est une dynamique chaotique.

Pour des données réelles, on ne peut pas simuler plusieurs populations, mais il y a plusieurs approches pour calculer l'exposant de Lyapunov. Les auteurs de l'étude en ont utilisé six, qu'ils ont auparavant testés sur des données simulées pour estimer leurs performance, et en ont retenu trois, qui nous donne la fourchette de 30 à 50% environ de populations ayant un comportement chaotique. Les trois autres donnaient trop de faux positifs ou de faux négatifs, comme on peut le voir dans le tableau ci-dessous:

Les codes (en format zip pour pouvoir être uploadés sur Wix):

Le code en R pour faire tourner les simulations présentées dans la vidéo, et pour tracer les graphiques ci-dessus : https://d86e08b9-d248-4ece-b314-43bed31c8569.usrfiles.com/archives/d86e08_bd9a3707225a461f99ecaa326a0b20f0.zip

Le modèle NetLogo de croissance de population dans l'espace : https://d86e08b9-d248-4ece-b314-43bed31c8569.usrfiles.com/archives/d86e08_bd9a3707225a461f99ecaa326a0b20f0.zip